Identités remarquables
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On définit 3 identités remarquables. Ce sont des formules faisant intervenir le carré de certaines expressions et leurs développements.
Soient a et b deux nombres quelconques :
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Pour les deux premières formules on a deux carrés, et le terme du milieu est appelé double produit.
Démontrons les résultats précédents :
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Prenons (a+b)² |
On utilise la formule mais ça ne sert à rien de développer de cette façon.
Le programme quelque soit le niveau prévoit l'utilisation de ces formules
directement, on doit même avoir un formulaire.
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Pour ( a-b)² la démonstration est la même, sauf qu'il faut faire attention aux signes: |
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Enfin pour (a+b) (a-b) |
Méthode pour appliquer ces formules :
Prenons la première : 
Exemple 1 : (y+3)²
Lorsque l'on regarde ( y+3 )², on voit aisément que a = y et que b = 3. Pour développer on va donc avoir besoin de a², de b² et du double produit 2ab.
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On a trois étapes de calcul :
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Application de la formule en prenant + pour le double produit car on a (y+3)² |
Exemple 2 : (x-5)²
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On a trois étapes de calcul :
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Application de la formule en prenant - pour le double produit car on a (x-5)² |
Exemple 3 : (u-2) (u+2)
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On a deux étapes de calcul :
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Application de la formule en prenant -. |
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La factorisation est assez facile. Dans un premier temps il faut savoir quelle formule utiliser, puis comment obtenir le bon résultat sans tomber dans les pièges.
Il faut appliquer deux critères pour trouver la bonne formule :
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Le nombre de termes |
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Les signes des termes |
| Étape 1
Nombre de termes |
formules possibles | Étape 2
Signes des termes |
formule possible |
| 3 | ou
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Tous positifs | |
| 2 positifs 1 négatif |
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| 2 |  |
1 positif 1 négatif |
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Exemple 1 : Factoriser x²+ 4x +4
Bien faire attention à ce que les termes soient ordonnés par ordre décroissant de puissance.
S'il y a 3 termes, cela veut dire que le terme du milieu est sans doute le double produit : 2ab.
On isole les deux termes (1ère place et dernière) qui ont été mis au carré x² et 4, qui sont les carrés de x et 2.
Le double produit a comme signe + donc théoriquement il s'agit de (x+2)², mais avant d'affirmer cela il est nécessaire de vérifier que le double produit correspond bien à 4x. C'est le cas donc on a factorisé x²+ 4x+ 4 = (x+2)².
Exemple 2 : Factoriser 4x²- 12x +9
Exemple 3 : Factoriser 25x²-16
Pour ce troisième exemple, le plus simple, est facilement factorisé. Car il suffit de voir s'il y a deux parties.
On détermine les termes mis au carré.
On applique la formule.
