Dans un premier temps, on
place dans le plan une droite (AB) telle que A et B soient distants de 4 cm. AB
= 4cm signifie qu'il faut tracer un cercle C1
de rayon 4cm.
D'après l'énoncé du
problème AC = 7 cm, en conséquence on trace un cercle de centre A et de rayon
7 cm avec comme particularité C appartenant au cercle C2.
Il faut aussi que BC =
3cm, donc on trace le cercle C3.
Ainsi C appartient à l'intersection de C2
et C3
. C appartient à l'intersection de [AC] et [BC], A et B appartiennent
à la droite (AB), donc A, B et C sont alignés.
Comme AE=BE, ABE est
un triangle isocèle. Par conséquent on définit une médiane passant par E
et I tel que les angles IEA et IEB sont égaux (définition du triangle
isocèle).
Comme AD=BD, ABD est
un triangle isocèle. Par conséquent on définit une médiane passant par D
et I tel que les angles IDA et IDB sont égaux (définition du triangle
isocèle).
Les deux triangles ont
la même base AB donc les deux médianes précédentes sont confondues et
les points I D et E sont alignés.
Même raisonnement
pour le triangle ACB, isocèle en C, on arrive donc à C, I, D , E alignés
car ils ont la médiane.
[EG]
est perpendiculaire à [BG]
, comme [BC]
est perpendiculaire à [AB]
et [DC] car rectangle alors [EG]
est parallèle à [AB]
et [DC].
Prenons les deux segments [BD]
et [BC] sécants en B, comme [EG] et [DC] sont parallèles, appliquons le
théorème de Thalès .
BF = ?cm
BD à calculer d'après le
théorème de Pythagore car nous avons un triangle rectangle en C donc
DC²+BC² = DB²
DC = 2,5cm et BC = 5cm d'où DB = 5,6cm
Nous allons appliquer la
réciproque du théorème de thalès. On choisit comme droites (AD) et (AJ)
sécantes en A. Comme on veut démontrer que (IC) et (JD) sont parallèles, il
faut démontrer que .
AC = 8 cm, CD = 4 cm
et AJ = 7,5 cm donc AD = 12 cm
Il faut donc calculer
AI
On remarquera ABC
est un triangle rectangle en A, donc on peut calculer BC, on
utilisera le théorème de pythagore.
On un triangle
rectangle en A donc AB² + AC² = BC² = 100 donc BC = 10 cm
I est le milieu de
(BC), donc (AI) est la médiane issue du sommet de l'angle droit,
Comme on est
dans un triangle rectangle la longueur de AI est égale à la
moitié de la longueur de l'hypoténuse. .
Maintenant
calculons les rapports AI / AJ = 0,666... et AC / AD = 0,6666...
Les points A I J et A
C D sont dans le même ordre, donc d'après le théorème de Thalès, les
droites (IC) et (JD) sont parallèles.
.
Par
conséquent AD = 5cm, de plus AD = AF+FE+ED, donc on peut en déduire facilement
.
.