Les vecteurs

 

Définition d'un vecteur
Translation
Propriétés dans un parallélogramme
Relation de Chasles
Vecteur nul
Vecteurs opposés
Coordonnées d'un vecteur
Calcul des coordonnées
Milieu d'un segment
Longueur d'un segment
Repère orthonormé
Calcul de la longueur

 

Définition : 

Sur la figure ci-contre la translation transforme A en A', B en B' et C en C'. 

Les couples de points (A,A') (B,B') et (C,C') définissent un même objet nommé un vecteur

Ont écrit alors : .

sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut également noter

 

 

Propriétés pour :
signifie que
Les droites (AA') et (BB') sont parallèles ( même direction)
Les demi-droites [AA’) et [BB’) ont même sens
Les segments [AA’] et [BB’] ont la même mesure
AA'B'B est un parallélogramme

La relation de Chasles :

Quels que soient les points A, B, C du plan on a :   

Propriétés :

Un vecteur dont le point origine et le point extrémité sont les mêmes est appelé vecteur nul , on notera pour le vecteur nul
Deux vecteur dont la somme est égale au vecteur nul sont dits opposés. sont opposés .
Démonstration avec la relation de Chasles :

: définition du vecteur nul, intercalons le point B, on a donc . Tout simplement on a montré que sont opposés.
Deux vecteurs opposés ont des représentants de même "longueur", de même direction mais de sens contraire  On peut l'écrire autrement :

         

Coordonnées d'un vecteur :

Dans un repère ( O, I, J ) du plan, si :

les points A et B ont pour coordonnées A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) 

 le vecteur  a pour coordonnées .
Le point M milieu de [ AB ] a pour coordonnées

Longueur d'un segment

Le repère ( O, I, J ) du plan est orthonormé ou orthonormal si : OI = OJ = 1

et 

( OI ) et ( OJ ) sont perpendiculaires
Dans un repère orthonormé ( O, I, J ) du plan, si :

les points A et B ont pour coordonnées A( xA ; yA ) et B( xB ; yB )