Académie de Bordeaux – Sujet juin 2000

Présentation de la copie : 4 pts

Activité numérique : 12 pts

Exercice N°1 :

I.                   Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre .

Indication: on pourra calculer le PGCD des nombres 1053 et 325.

II.                 Déterminer les nombres x tels que: .

III.              Calculer .

(On donnera le résultat sous la forme  , où a est un nombre entier.)

Exercice N°2 :

I.                    On considère l'expression: E = (x – 3)²-(x - 1) (x -2).
a. Développer et réduire E.
b. Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de ?

II.                 2. a. Factoriser l'expression: F = (4x + I)² -(4x + 1) (7x - 6).
 b. Résoudre l'équation: (4x + 1) (7 - 3x) = 0.

Exercice N°3 :

5 JOURS DE BRADERIE
Le tee-shirt : prix unique x francs
Le jean : prix unique y francs

I.                    Antoine a acheté cinq tee-shirts et deux jeans: il a payé 680 francs. Thomas a acheté quatre tee-shirts, un jean, et un blouson qui coûte 600F : il a payé 1060 francs.
Quel est le prix d'un tee-shirt ? Quel est le prix d'un jean ?

II.                 Le tableau ci-dessous indique la fréquentation quotidienne de la braderie :

a. Sur le nombre total de personnes ayant fréquenté la braderie, quel est le pourcentage de celles qui sont venues le dimanche ?
            b. Quel est le nombre moyen de visiteurs, par jour, pendant la durée de la braderie ?

Activité géométrique : 12 pts

Exercice N°1 :

Le plan est rapporté au repère orthonormé (o; I, I) ; l'unité graphique est le centimètre. La figure sera réalisée sur papier quadrillé.

1. a. Placer les points A(4 ; 5), B(- 3; 3) et C(2 ; -2).
   b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Soit D l'image de B par la translation de vecteur . Calculer les coordonnées du point D.
3. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

Exercice N°2 :

Un aquarium a la forme d'une calotte sphérique de centre a (voir figure ci-après), qui a pour rayon R = 12 et pour hauteur h = 19,2 (en centimètres).

1. Calculer la longueur 01, puis la longueur IA.
2. Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule : , où R est le rayon de la sphère et h la hauteur de la calotte sphérique. Calculer une valeur approchée du volume de cet aquarium au cm³ près.
3. On verse six litres d'eau dans l'aquarium. Au moment de changer l'eau de l'aquarium, on transvase son contenu dans un récipient parallélépipédique de 26 cm de longueur et de 24 cm de largeur. Déterminer la hauteur x d’eau dans le récipient ; arrondir le résultat au mm.

Problème : 12 pts

L'unité graphique est le centimètre. La figure sera réalisée sur papier quadrillé.

Partie A

1. Tracer un segment [AB] tel que AB = 12 et placer le point H du seg­ment [AB] tel que AH = 1.
2. Tracer un demi-cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire en H à la droite (AB).
3. On désigne par C leur point d'intersection. Quelle est la nature du triangle ABC ?
4. Exprimer, de deux façons, le cosinus de l'angle  et en déduire que AC = . Donner la mesure arrondie au degré de l'angle  .

Partie B

1. a. Placer le point D de la droite (BC) tel que B, Cet D soient dans cet ordre et que CD = 6.
   b. Calculer, la mesure, en degrés, de l'angle et la valeur exacte de la longueur AD.

2. a. Placer le point E du segment [AD] tel que AE = 2, et le point F du segment [AC] tel que  = 30°.
   b. Démontrer que les droites (EF) et (DC) sont parallèles.
   c. Calculer la longueur AF.

3. La droite (EF) coupe la droite (CH) en K. Démontrer que le point K appartient à la bissectrice de l'angle .